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In matematica, uno spazio localmente convesso è uno spazio vettoriale topologico che generalizza il concetto di spazio normato.
La topologia localmente convessa su uno spazio vettoriale topologico (reale o complesso) è una topologia formata da una base di insiemi convessi tale per cui le operazioni lineari sullo spazio sono continue. Non si tratta necessariamente di una topologia di Hausdorff.
Da un punto di vista analitico uno spazio localmente convesso può essere caratterizzato considerando uno spazio vettoriale topologico nel quale è definita una famiglia di seminorme. Lo spazio viene detto localmente convesso se:
La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è dunque la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.